Un problema di balistica


E’ da qualche tempo che non scrivo nulla di scientifico. Rimedio oggi.

Mi è capitato di recente di vedere il film “Robin Hood” di Ridley Scott. Verso la fine, una scena mi ha fatto venire in mente un problemino di balistica.

La scena è quella in cui gli arcieri arrivano sulle bianche scogliere (immagino siano quelle) e tirano a volontà sull’esercito francese che stava giusto sbarcando sulla spiaggia sottostante. Gli archi ben inclinati verso l’alto nonostante si trovassero ad una altezza ragguardevole rispetto al bersaglio mi hanno posto una domanda che probabilmente esula dal film in sé, visto che 1) i tiratori di Robin Hood erano assolutamente i migliori sul mercato e quindi se tiravano alzando così possiamo star ben certi che fosse esattamente la cosa da fare; e 2) dai, è un film.

La questione è la seguente. Si sa (e se non si sa, i curiosi trovano più sotto la traccia per rendersi conto che le cose stanno così) che, trascurando la resistenza dell’aria (quindi nel vuoto o approssimativamente anche in aria ma a basse velocità), in un lancio balistico terra-terra con velocità iniziale fissata (cioè energia fissata) la gittata massima si ha alzando il tiro a 45°. E’ facile convincersi che se a 0° il proiettile ti cade sulle scarpe, e a 90° il proiettile sale a perpendicolo e poi ti cade in testa, quindi due casi con gittata nulla, tra o° e 90° deve esserci un angolo che dia una gittata massima, cioè permetta al proiettile di arrivare più lontano che tirando con alzo diverso. Guarda caso, nelle approssimazioni dette sopra, tale angolo risulta essere proprio a metà, 45°.

Ma la cosa non vale se i due terminali della traiettoria si trovano a quote diverse. Ho fatto due calcoletti, ed effettivamente risulta che per tirare a un bersaglio in alto ed avere la gittata massima occorre alzare di più, mentre per tirare a un bersaglio più in basso ed avere sempre la gittata massima occorre alzare di meno. Ovviamente, data una velocità iniziale del proiettile, c’è una quota limite oltre la quale, non importa in che direzione puntiate l’arco, non arriverete mai.

Morale della favola: fate attenzione: la fisica vi può cogliere in qualunque momento, anche guardando un film sull’Inghilterra del Medioevo.

Istruzioni per verificare che 45° è l’angolo di gittata massima tra punti alla stessa quota

  1. Scrivere l’equazione del moto rettilineo uniforme lungo l’asse x e del moto uniformemente accelerato lungo l’asse y (ovviamente con accelerazione negativa pari a g), con velocità iniziali lungo gli assi pari rispettivamente a v cos A e v sin A, dove A è l’angolo di alzo;
  2. ricavare l’espressione di t dalla prima e sostituirla nella seconda ottenendo l’equazione di una parabola;
  3. intersecare la parabola con la retta y=0 (o, se ci si vuole complicare la vita, y=h); ponendo x=0 (oppure…) come prima soluzione, trovare l’altra intersezione; questa sarà data da un’espressione in funzione di A;
  4. trovare il massimo di x(A) ponendo dx(A)/dA=0.

Buon lavoro!

 

4 commenti

  1. Grazie per l’interessante lezione…ti dispiace se non faccio il compito?

    1. Per questa volta sei giustificata… 🙂

  2. Oppure a parole:

    La velocità totale ci dà un budget per la somma delle componenti vx + vy. La componente verticale serve a “comprare” tempo in aria per la freccia, e visto che l’accelerazione gravitazionale è costante, il tempo in aria deve essere proporzionale a vy. La componente orizzontale ci dice quanto lontano possiamo andare in quel tempo. Quindi la gittata deve essere proporzionale a vx vy.

    Dato vx + vy costante, vx vy è massimo quando vx = vy, ovvero un angolo di 45 gradi. La prova grafica è immediata: disegnando un quadrato e un rettangolo con lo stesso perimetro, al rettangolo “manca” un quadratino con lato uguale alla differenza dei lati del rettangolo.

    (Volevo vedere se mi ricordavo ancora un po’ di fisica generale, visto che sono diventato un incrocio tra uno statistico e un informatico; e volevo per una volta fare un commento a questo blog invece di leggere silenziosamente… complimenti, Alessandro, scrivi benissimo e sei sempre interessante da leggere.)

    1. Grazie Michele, per il tuo passaggio, per il tuo commento, per il tuo contributo… e per i complimenti. 🙂

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