Il valico


Tutta la conoscenza umana inizia con l’intuizione, prosegue con i concetti e termina con le idee.

Questo è il brano, citato dalla “Critica della ragion pura”, che introduce i “Fondamenti della geometria” di David Hilbert.

Nato il 23 gennaio 1862, Hilbert è ricordato nella storia della matematica come uno dei giganti, una delle cui ciclopiche imprese fu appunto la riscrittura della geometria, una sorta di rilettura di Euclide alla luce di oltre duemila anni di progressi.

Chi prova oggi a leggere il primo libro degli “Elementi” di Euclide, trova una sistemazione della geometria un po’ diversa da quella che si studia oggi nelle scuole. Che si deve appunto ai “Grundlagen der Geometrie” del 1899, a Hilbert.

La cosa curiosa… un attimo. Prima è bene chiarire cosa fa Hilbert nei “Fondamenti”.

Dice: un “insieme” non spiego cos’è; è un concetto primitivo che non posso definire. Ugualmente “punto”, “retta”, “piano”, “appartenere”, “tra”, “congruente”, “distinti”, “individuare” e pochi altri, sono termini che non specifico se non come relazioni: ad esempio, due punti distinti individuano sempre una retta; oppure se A, B e C sono punti che appartengono a una retta, e C è tra A e B, allora C è anche tra B e A.

Capito? Cosa vuol dire “appartenere”? Togliti dalla mente quel che la tua esperienza ti porta a immaginare. “Appartenere”, nei Grundlagen, vuol dire qualcosa che è determinato unicamente dalle frasi (assiomi) che contengono tale parola. Tutte le caratteristiche non definite, direttamente o in termini di relazioni tra termini primitivi, vanno dimenticate.

I punti non sono più quelli della geometria euclidea, che erano di origine concreta, come il segno lasciato da una puntura di stilo su una tavoletta cerata. Sono ora invece gli oggetti astratti unicamente definiti dagli assiomi che li riguardano. L’uso dei termini “punto”, “retta”, “piano” eccetera è preservato per mantenere l’idea che si tratti comunque di geometria; ma Hilbert stesso era consapevole del fatto che quelle stesse parole non significavano più la stessa cosa che volevano dire prima di lui. Erano diventati concetti astratti, tanto che lui stesso, in una citazione famosa, richiedeva che quelle stesse parole potessero essere sempre sostituite con altre, ad esempio “sedie, tavoli e boccali di birra”, ovviamente a patto di cambiare anche il significato di tutti gli altri termini.

E’ un bel salto concettuale. Un bel salto concettuale che non sono sicuro che Kant avrebbe completamente sottoscritto.

In effetti, come Hilbert usa Kant per introdurre la sua geometria, Kant usa un brano di Francis Bacon per introdurre la sua “Critica” (nella seconda edizione). Niente che entri nel merito, ma è, ecco quello che stavo per dire qualche riga sopra, è curiosa la scelta della fonte.

Francis Bacon, nato il 22 gennaio 1561, è considerato soprattutto nel mondo anglosassone come il fondatore del metodo scientifico. Noi che conosciamo un po’ meglio le opere di Galileo Galilei, sappiamo che quest’ultimo aggiunge qualcosa di essenziale al pensiero di Bacone, e che il metodo scientifico, se esiste qualcosa di univocamente determinabile con tale espressione, è più facile accasarlo sulle rive dell’Arno che del Tamigi, ma non è questo ciò di cui voglio scrivere qui.

E’ che Bacone è uno dei primissimi sponsor del metodo induttivo: l’esperienza conduce alla formulazione dei principi astratti, con gradualità dal particolare verso il generale.

Hilbert rappresenta invece qualcosa di molto diverso. La fase di astrazione, dagli oggetti quotidiani alla loro rappresentazione geometrica, alla costruzione di oggetti astratti, è ormai data per acquisita. Ciò che Hilbert propone, per la prima volta nel campo della geometria in modo logicamente rigoroso, è una costruzione puramente astratta e assiomatica, da cui per deduzione si dimostrano proprietà altrettanto astratte. Con la possibilità, certamente, di trovare modelli (sistemi reali, i puntini sulle tavolette degli alessandrini oppure i boccali di birra) su cui applicare la struttura dei risultati, ma senza che questa ricerca di modelli abbia alcun peso nella determinazione della struttura teorica. Questa dipende solo dagli assiomi scelti e dalle leggi del pensiero (la logica).

Bacone e Hilbert, due grandi che celebrano i compleanni in questi giorni: hanno guardato il mondo da due punti di vista molto diversi, su due opposti versanti della conoscenza scientifica. E in mezzo, un valico: Kant e la sua ragion pura.

Perché mi vengono i brividi? Sarà l’aria di montagna?

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